Вернувшись на малую родину в конце 1904 года, Эмми всё-таки официально поступила в университет, т.к. ограничения для женщин были к тому времени сняты. Изъявив желание заниматься исключительно математикой, Нётер взялась за дело с присущим ей упорством и прозорливостью: уже через 4 года она внесла значительный вклад в теорию инвариантов, успешно защитив диссертацию под руководством Пауля Гордана.

Простейший инвариант – это длина отрезка на плоскости. Если начать его вращать в любом направлении, параллельно переносить, отражать и т.д., то длина от этого не изменится. Значит, длина – это инвариант. Конечно, Эмми изучала куда более сложные вещи. 

Однако, несмотря на все трудности, в 1918 году Эмми Нётер внесла гигантский вклад... в теоретическую физику! В 36 лет она доказала теорему, названную её именем, которая связывает законы симметрии физических систем и законы сохранения энергии. 

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:

• однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
• однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
• изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
• калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны). Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения.

В самой общей форме суть теоремы Нётер можно выразить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся находить те характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти системы. Например, наша планета движется по своей орбите с переменной скоростью, однако воображаемый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера).

Полный электрический заряд изолированной макроскопической системы не изменяется, какие бы внутренние превращения она ни претерпевала; точно так же, абсолютным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер следует, что само существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями некоторой фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы.

Выражаясь иначе, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех или иных симметрий. Этот вывод стал самым универсальным инструментом выявления таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого, его можно назвать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.

Величина, о которой только что шла речь, называется действием. Ее конкретный вид зависит от системы, чье поведение она описывает. По форме это одномерный или многомерный интеграл от столь же фундаментального функционала — лагранжиана. В реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — чаще всего, достигает минимума. Это утверждение, не вполне точно называемое принципом наименьшего действия, позволяет с помощью методов вариационного исчисления записывать уравнения, описывающие динамику системы.

• Амалия Нётер была старшей из 4 детей в еврейской семье. Отец её также была математиком, происходил из состоятельного купеческого семейства. Брат Фриц Нётер (Фриц Максимилианович Нетер) позже станет известен как немецкий и советский математик.

• Амалия стала одной из первых женщин, которой разрешили в качестве вольной слушательницы посещать университет в Германии в 1900 году (до 1904 года обучение женщин в вузах не разрешалось).

• Уже в 1915 году Нётер внесла вклад в разработку общей теории относительности; Эйнштейн в письме к мировому лидеру математиков Давиду Гильберту выразил восхищение «проницательным математическим мышлением» Нётер.

• В 1916 году она пыталась стать приват-доцентом Гёттингенского университета, но профессорский состав университета был решительно против, что вызвало бурную реакцию знаменитого математика того времени Давида Гильберта: «Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»

• С 1920 года Амалия Нётер создала целое новое направление в абстрактной алгебре, а с 1922 года она стала профессором Гёттингенского университета.

• Среди учеников, коллег и друзей Нётер — Герман Вейль, Эдмунд Ландау, нидерландский математик Л. Брауэр, советские математики П. С. Александров, П. С. Урысон. В 1928—1929 гг. она даже приезжала в СССР и читала лекции в Московском университете.

• После прихода немецких нацистов к власти в 1933 году Нётер, будучи еврейкой, эмигрировала в США, где она преподавала в Пенсильвании в женском колледже, а также периодически читала лекции в Принстоне. Младший её брат (тоже математик) эмигрировал в СССР, где в сентябре 1941 года его расстреляли по приговору НКВД «за антисоветские настроения».

• Часто полагают, что Эмми — сокращённая форма имени «Амалия», однако это — просто второе имя.

• Умерла Эмми Нётер в 1935 году в результате неудачной операции, её пытались лечить от рака.

• Альберт Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики ХХ века.